環 (數學)
出自安那其百科
環在抽象代數中，指一類代數結構，若一個集合S為環，則其元素有以下的性質：
- S中的任意元素可做加法，加法運算所得的答案亦在S中，且其加法為一交換群(因為加法反元素存在，因此環有減法)
- S中的任意元素可做乘法，乘法運算所得的答案亦在S中，且其乘法具有結合律 a(bc) = (ab)c、左分配律a(b+c) = ab+ac和右分配律(a+b)c=ac + bc
由上可知，環的加法和乘法都是自封(即S的元素經過運算後所得的元素依然在S中)的
環中的乘法不一定具有交換律，且對其元素亦不一定有乘法反元素，像n階矩陣的集合為一環，但是對多數的n階矩陣A和B而言AB和BA不一定相等，且若A相對應的行列式為零，A不具有乘法反元素C使得AC=CA=E(E為n階單位矩陣)，若一個環的乘法有交換律，則稱其為交換環，像整數的集合即為一交換環的例子
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